CITRA DIGITAL UTS [PENGERTIAN FREQUENCY DOMAIN DAN FOURIER TRANSFORM]

Frequency Domain mengacu pada analisis fungsi matematika atau sinyal sehubungan dengan frekuensi , daripada waktu. Secara sederhana, sebuah waktu-domain grafik menunjukkan bagaimana perubahan sinyal dari waktu ke waktu, sedangkan frekuensi-domain grafik menunjukkan berapa banyak sinyal terletak dalam setiap pita frekuensi yang diberikan pada rentang frekuensi. Sebuah representasi frekuensi domain juga dapat mencakup informasi tentang fase pergeseran yang harus diterapkan untuk setiap sinusoid agar dapat bergabung kembali komponen-komponen frekuensi untuk memulihkan sinyal waktu asli.

Sebuah fungsi atau sinyal yang diberikan dapat dikonversi antara waktu dan frekuensi domain dengan sepasang matematika operator disebut transformasi . Contohnya adalah transformasi Fourier , yang mengubah fungsi waktu ke dalam sejumlah gelombang sinus frekuensi yang berbeda, yang masing-masing merupakan komponen frekuensi. The 'spektrum' komponen frekuensi adalah representasi domain frekuensi sinyal. The invers transformasi Fourier mengubah fungsi domain frekuensi kembali ke fungsi waktu. Sebuah spektrum analyzer adalah alat yang biasa digunakan untuk memvisualisasikan sinyal dunia nyata dalam domain frekuensi.

Beberapa teknik pemrosesan sinyal khusus menggunakan transformasi yang menghasilkan gabungan domain frekuensi waktu, dengan frekuensi sesaat menjadi penghubung utama antara domain waktu dan domain frekuensi.

Pengertian diatas saya ambil dari wikipedia, dan pada citra digital domain frequency digunakan untuk melakukan perbaikan citra atau gambar selain itu domain frequency juga memiliki sub yaitu Fourier Transform.

Menurut wikipedia Fourier Transform adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. Dalam fourier transform ada yang namanya Transformasi Fourier Diskrit (DFT) dan Fast Fourier Transform (FFT).

Ø  Transformasi Fourier Diskrit (DFT)

Merupakan salah satu bentuk transformasi Fourier di mana sebagai ganti integral, digunakan penjumlahan. Dalam matematika sering pula disebut sebagai transformasi Fourier berhingga (finite Fourier transform), yang merupakan suatu transformasi Fourier yang banyak diterapkan dalam pemrosesan sinyal digital dan bidang-bidang terkait untuk menganalisa frekuensi-frekuensi yang terkandung dalam suatu contoh sinyal atau isyarat, untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial, dan untuk melakukan sejumlah operasi, misalnya saja operasi-operasi konvolusi.

Rumus :

Ø  Fast Fourier Transform (FFT).

Fast Fourier Transform (FFT) adalah suatu algoritma yang efisien untuk menghitung transformasi Fourier diskrit (DFT) dan inversenya. Fast Fourier transform (FFT) menjadi penting untuk bermacam – macam aplikasi, dari pengolahan sinyal digital dan memecahkan persamaan diferensial parsial menjadi algoritma-algoritma untuk penggandaan bilangan integer dalam jumlah yang banyak. Dua kelas dasar dari algoritma FFT adalah decimation-in-time (DIT) dan decimation-in-frequency (DIF). Istilah fast  digunakan oleh karena formulasi FFT ini jauh lebih cepat dibandingkan dengan metode perhitungan sebelumnya.

Dalam melakukan perbaikan citra digunakan beberapa filtering diantaranya :

1.      Filter Lowpass Ideal

Filter lowpass ideal (ILPF) 2-D adalah filter yang menghilangkan “cut-off” semua komponen frekuensi tinggi dari transformasi Fourier yang jaraknya dari titik pusat transformasi lebih dari D₀ . from the origin of the (centered) transform. Fungsi ILPF 2-D adalah :

D₀ adalah sebuah nilai non negatif, dan D(u,v) adalah jarak dari titik (u,v) ke pusat segiempat frekuensi. Jika ukuran citra adalah MxN, maka pusat dari segiempat frekuensi adalah di (u,v)=(M/2,N/2). Jarak sembarang titik (u,v) ke pusat transformasi Fourier dapat hitung dengan :

Perhatikan gambar (c). Pada potongan filter lowpass ideal, titik transisi antara H(u,v)=1 dan H(u,v)=0 disebut “cutoff frequency”. Pada gambar tersebut, “cutoff frequency” adalah D₀. Cara untuk menetapkan sekumpulan “cutoff frequency” standard adalah dengan menghitung lingkaran yang melingkupi sejumlah power citra total P_T, yang dirumuskan sebagai berikut :

Lingkaran berjari-jari r dengan pusat pada titik tengah segiempat frekuensi melingkupi a persen power, dengan:

Penjumlahan dilakukan terhadap nilai-nilai (u,v) yang terletak di dalam dan di pinggiran lingkaran. 

Proses dalam domain frekuensi berikut : G(u,v)=H(u,v)F(u,) ekuivalen dengna proses konvolusi pada domain spasial berikut :

g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)

Dari H(u,v) kita mendapatkan h(x,y) dengan cara :

1.      H(u,v) dikalikan dengan (-1)^u+v untuk centering

2.      Dihitung inverse DFT

3.      Bagian real dari inverse DFT dikalikan dengan (-1)^x+y.

 

Filter h(x,y) memiliki dua karakteristik utama :

1.      Komponen yang dominan pada titik pusat  bertanggung jawab pada pengkaburan

2.      Concentric, komponen melingkar di sekitar komponen dominan pada titik pusat bertanggung jawab pada “ringing” 

     Pada gambar 4.13 diatas, f(x,y) adalah citra sederhana yang terdiri atas 5 buah piksel terang dengan background gelap. Titik cemerlang ini bisa dianggap sebagai impuls yang kekuatannya tergantung pada intensitas titik. Konvolusi antara h(x,y) dan f(x,y) sebenarnya adalah proses “menyaling” h(x,y) pada setiap lokasi impuls. sifat “reciprocal” antara H(u,v) dan h(x,y) menjelaskan secara matematis mengapa pengkaburan dan “ringing” menjadi lebih tajam ketika filter yang digunakan dalam domain frekuensi semakin sempit.  

2.      Filter Lowpass Butterworth

Adalah suatu filter yang menghasilkan kerataan passband yang maksimal. Oleh karena itu sering digunakan sebagai filter anti-aliasing pada aplikasi data

Fungsi filter lowpass Butterworth (BLPF) dengan orde n, dan “cutoff frequency” pada jarak D₀ dari titik pusat, didefinisikan sebagai berikut :

Fungsi BLPF tidak memiliki diskontinyuitas yang tajam, yang menetapkan “cutoff” yang jelas antara frekuensi yang dilewatkan dan frekuensi yang difilter. Untuk filter dengan fungsi transfer yang smooth, pendefinisian lokasi dari “cutoff frequency” adalah ketika H(u,v) turun dengan prosentase tertentu dari nilai maksimumnya. H(u,v)=0.5 (turun 50% dari nilai maksimum 1) ketika D(u,v)=D₀. 

 

 

3.    Filter Lowpass Gaussian

     Bentuk dari filter lowpass Gaussian 2-D dirumuskan :

adalah ukuran penyebaran kurva Gaussian. Digunakan s=D₀, dengan D₀ adalah “cutoff frequency”.

contoh :

Contoh penerapan Lowpass Filtering pada Aplikasi photo editor.

Gambar di bawah memberikan contoh tentang pengenalan karakter. Contoh teks dengan resolusi rendah dibandingkan dengan hasil filtering menggunakan filter lowpass Gaussian dengan D0=80. Citra berukuran 444 x 508 piksel.

Gambar di bawah mencontohkan “cosmetic processing” sebelum pencetakan.

4.      Filter Penajaman

Penajaman citra bisa dilakukan pada domain frekuensi dengan filtering menggunakan filter highpass, yang menurunkan komponen frekuensi rendah dan melewatkan komponen frekuensi tinggi dari transformasi Fourier. fungsi filter highpass dihitung dengan :

Representasi spasial dari filter pada domain frekuensi bisa dihitung dengan :

1.      Kalikan H(u,v) dengan (-1)^u+v untuk centering

2.      Hitung inverse DFT

3.      Kalikan bagian real dari inverse DFT dengan (-1)^x+y

5.      Filter Highpass Ideal

Filter highpass ideal 2-D (IHPF) didefinisikan :

Filter akan menset nol semua komponen frekuensi di dalam lingkaran dengan jari-jari D₀, dan melewatkan semua komponen frekuensi di luar lingkaran.